Reklama:

Sinová a Kosinová věta

 

Sinová věta

V trojúhelníku ABC s úhly α β γ platí:

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}

Důkaz

Tuto větu dokážeme díky našim znalostem o pravoúhlých trojúhelnících. Bod P je pata výšky na stranu c.

Sinová věta
|CP|=|AC|*sin(α)
|CP|=|BC|*sin(β)
|AC|*sin(α) = |BC|*sin(β)
b*sin(α) = a*sin(β)

Díky této větě můžeme zároveň vypočítat poloměr kružnice opsané danému trojúhelníku.

Průměr =
\frac{a}{\sin\alpha} r=\frac{a}{2\sin\alpha}

Do tohoto vztahu můžeme samozřejmě dosadit další dvojice stran a úhlů (b a β, c a γ).

Příklady

Je dáno: β = 60°, γ=100° a a=2.6. Najděte délku strany c. Jelikož je toto článek o sinové větě, je tedy jasné, že k vyřešení tohoto problému musíme použít sinovou větu. Prvním krokem je ale nalezení velikosti úhlu α: 180-(γ+β) = 20°. Nyní dosadíme do vzorce:


	\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}\\\frac{2.6}{\sin 20^{\circ}}=\frac{c}{\sin 100^{\circ}}\\c=7.49
	
Pokud jsou zadány dva úhly a jedna strana, situace je jednoduchá. Pokud jsou ale zadány dvě strany a úhel, který není mezi nimi, nastává malý problém. V tomto případě musíme před výpočtem testovat; buď získáme jeden, nebo dva trojúhelníky. V některých případech dokonce daný trojúhelník neexistuje. Testování probíhá následujícím způsobem:

	
    
		
  • Tupý úhel
		
      
			
    • Pokud je strana protilehlá k danému úhlu větší než druhá strana, existuje jedno řešení.
      • 
			
    • Pokud je strana protilehlá k danému úhlu menší nebo rovná délce druhé strany, není žádné řešení.
      • 
		
    
		
    • 
		
  • Ostrý úhel
		
      
			
    • Pokud je strana protilehlá k danému úhlu větší než druhá strana, existuje jedno řešení.
      • 
			
    • Pokud je délka protilehlé strany k danému úhlu menší nebo rovna než druhá strana musíme testovat (předpokládejme, že strana b je přilehlá strana a strana a je strana protilehlá):
			
        
				
      • \frac{a}{b}=\sin\alpha - jedno řešení
        • 
				
      • \frac{a}{b}>\sin\alpha - existují dva trojúhelníky
        • 
				
      • \sin\alpha>\frac{a}{b} - neexistuje žádné řešení
        • 
			
      
			
      • 
		
    
		
    • 
	

	
Je dáno: α = 48°, a=12, b=13. Úhel je ostrý a protilehlá strana je menší než strana přilehlá → musíme testovat. \frac{a}{b}=0.92, \sin 48^{\circ} = 0.74 → 0.92 > 0.74→ existují dvě řešení. Začneme tak, že nalezneme úhel β: \frac{\sin\beta}{13}=\frac{\sin 48^{\circ}}{12} \rightarrow \beta = 53.6. Nalezli jsme úhel β1. Pro druhé řešení bude hodnota tohoto úhlu logicky jiná; velikost úhlu β2 je jednoduché: β2=180-β1=126.4. Nyní by stačilo dořešit trojúhelníky, ale to už je jednoduché a proto to zde nebudu rozepisovat.

	

		www.ucseonline.cz 

	
Kosinová věta

	
Pro trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ platí následující věta:

	

	a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\\b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\\c^2=b^2+a^2-2ab\cos\gamma
	
Pythagorova věta je odvozena z kosinovy věty. Schválně zkuste ve vzorci c2 = b2 + a2 - 2*a*b*cos(γ) dosadit za γ = 90°. Jelikož cos(90) = 0, můžeme škrtnout -2*a*b*cos(γ) a zbude nám pouze Pythagorova věta c2 = b2 + a2

	
Je dáno: γ = 100.5°, a=1.2 a b=2.6. Najděte délku strany c:

	

	c^2=b^2+a^2-2ab\cos\gamma\\c=\sqrt{2.6^2+1.2^2-2*1.2*2.6*\cos 100.5^{\circ}}\\c=3.1
	
Je dáno: a=20, b=18 a c=13. Určete velikost úhlu α.

	

	a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\\\cos\alpha = \frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\\\alpha = 79^{\circ}