Paradox tří dveří

Problém tří dveří, někdy též Monty-Hallův problém, je pravděpodobností úloha, která nejednoho člověka dokáže zmást. 

Zadání

Mějme tři dveře. Moderátor Monty Hall umísti za jedny dveře auto, za ostatní dveře umístí kozu. Vaším úkolem je najít a vybrat ty dveře, za kterými je auto. V tuto chvíli vás vybídne, abyste si zvolil jedny ze tří dveří, označme je A, B a C. Vy si vyberete jedny dveře, řekněme B. Dále vstupuje do hry moderátor, který ze zbývajících dveří, tj. A, C, otevře ty dveře, za kterými se skrývá koza – tedy prozradí vám dveře, které určitě nevedou k cíli. Řekněme, že otevře dveře A. 

Pointa celého problému je v následujícím kroku – moderátor vám nabídne, že můžete svou volbu změnit. Vy jste si nejdřív vybral dveře B, pak vám moderátor řekl, že za dveřmi A auto není a nabízí vám, že můžete změnit svou volbu na dveře C. Ale můžete si ponechat svou původní volbu B. 

Jak se rozhodnete? Je větší šance, že auto bude za dveřmi B, nebo za dveřmi C? Nebo je to jedno? 

Řešení

Máte troje dveře. Jedny dveře jsou ze hry, takže vlastně máte už jen dvoje dveře. Za jedněmi z těchto dveří určitě auto je. O zbývajících dvou dveří nic nevíte, žádnou další indicii k dispozici nemáte. Takže pravděpodobnost je samozřejmě 50 % u obou dveří. 

Přibližně takové je myšlení velké části lidí, takže se netrapte, pokud jste si to taky mysleli. Řešení je to ale samozřejmě špatné :-). 

Správné řešení

Vyplatí se změnit svou volbu na ty dveře, které moderátor nevyřadil. K pochopení si můžeme rozepsat pravděpodobnosti od začátku. Když si poprvé volíte dveře, tak pravděpodobnost, že zrovna za nimi bude auto, je 1/3. Žádnou další indicii nemáme, takže pravděpodobnost je rozdělena rovnoměrně, 1/3pro každé dveře. 

Takže pokud si zvolíte dveře B, máte šanci 1/3, že je za nimi auto. Zároveň existuje 2/3 pravděpodobnost, že se auto nachází za dveřmi A nebo C. Je tedy pravděpodobnější, že se auto nachází za dveřmi, které jsme nezvolili. Toto je důležité. 

V dalším kroku vstupuje do hry moderátor a otevře jedny z dveří, za kterými není auto. Moderátor otevře dveře A. Za dveřmi A tak auto není. Co se stane s tou 2/3 pravděpodobností? Víme, že pravděpodobnost, že je auto za dveřmi Anebo C je 2/3 a zároveň víme, že za dveřmi A není. 2/3 pravděpodobnost se tak přelije na dveře C. Šance, že auto je za dveřmi C je 2/3. 

Naše šance u dveří B ale zůstává stále stejná, ta se nijak nezměnila. Takže máme 1/3 šanci, že je auto za dveřmi B, které jsme zvolili, a 2/3 šanci, že je za dveřmi C, na které můžeme svou volbu zmenit. Je tak rozumné svou volbu změnit. 

Více dveří

Příkladu lze možná lépe porozumět, pokud zvýšíme počet dveří a modifikujeme úlohu takto: mějme deset dveří. Na začátku si soutěžící vybere jedny dveře a moderátor otevře všechny dveře, kromě těch, které jsme zvolili a kromě těch, za kterými je auto. Zadání je prakticky stejné jako v předchozím příkladě, pouze tam, když moderátor otevíral všechny dveře, tak otevíral jen jedny dveře, protože jich více otevřít nemohl. 

Na začátku si vyberete dveře 1. Šance, že je za nimi auto je 1/10. Je 9/10pravděpodobnost, že je auto za jinými dveřmi. Dále moderátor odstraní 8 dveří, za kterými určitě auto není a zůstanou vám opět jen dvoje dveře. Šance, že je auto za dveřmi, které vám moderátor ponechal, je 9/10, zatímco šance, že je za vašimi vybranými dveřmi je stále 1/10.