Goniometrické funkce
Základní pojmy o trojúhelníku
Goniometrické funkce pracují s úhly v trojúhelníku, proto si v této části zopakujeme pojmy související s trojúhelníkem.
Trojúhelník ABC
Na obrázku je vidět trojúhelník, který je tvořen vrcholy A, B a C; jedná se tak o trojúhelník ABC. Najdeme zde tři strany: AB, BC, AC. Dále si všimněte, že tyto strany jsou ještě navíc pojmenovány malými písmeny. Toto pojmenování má své pravidlo — naproti vrcholu A máme stranu a. Naproti vrcholu B je strana b a naproti vrcholu C je strana c. Po daném vrcholu je tak vždy pojmenována protější strana; ta strana, která není tvořena daným vrcholem.
Každý trojúhelník má tři vnitřní úhly, které obvykle označujeme řeckými písmeny alfa α, beta β a gama γ. Součet všech tří vnitřních úhlů musí vždy dát 180 stupňů. U vrcholu A máme obvykle úhel alfa, u B beta a u C gama.
Přestože goniometrické funkce můžeme nějakým způsobem používat u jakéhokoliv trojúhelníku, často pracujeme pouze s pravoúhlým trojúhelníkem. Pravoúhlý trojúhelník je takový trojúhelník, který má jeden úhel pravý, tj. o velikosti 90 stupňů. Vypadá například takto:
Pravoúhlý trojúhelník má speciálně pojmenované strany. Nejdelší strana se nachází naproti pravého úhlu a říká se jí přepona (modrá strana na obrázku). Dvěma kratším stranám se říká odvěsny (červené strany). Tento trojúhelník nás bude v tomto článku zajímat nejvíce.
Značení odvěsen v trojúhelníku
Přejděme postupně k první goniometrické funkci, k funkci sinus. Všechny goniometrické funkce nám ukazují vztah mezi nějakým úhlem v trojúhelníku a poměrem délek dvou stran. Zpravidla se pak nejedná o pravý úhel, ale o ty zbývající dva. Vstupem do goniometrické funkce je tak velikost úhlu. Výstupem je poměr nějakých dvou stran. Jednotlivé funkce se liší podle toho, s jakými stranami pracují.
Funkce sinus pracuje s protilehlou odvěsnou a přeponou. Co je přilehlá a protilehlá odvěsna vzhledem k danému úhlu ukazuje následující obrázek.
Na obrázku pracujeme s úhlem beta, tedy s úhlem u vrcholu B. Černá strana je přepona, na ní se nic nemění. Červeně zvýrazněná strana c je přilehlá odvěsna, protože přiléhá k úhlu beta. Modře zvýrazněná strana b je protilehlá odvěsna, protože je naproti úhlu beta. Důležité je, že tyto pojmy vztahují vždy k úhlu. Pokud se budeme dívat na obrázek z pohledu úhlu gama, dostaneme tento výsledek:
Funkce sinus
Sinus úhlu alfa se rovná poměru délky protilehlé odvěsny ku délce přepony. Co to znamená? Pokud spočítáme (na kalkulačce například) sinus úhlu alfa, získáme hodnotu podílu
Trojúhelník s vyznačeným úhlem beta
Je to hezký trojúhelník, délky stran jsou: |a| = 5, |b| = 3 a |c| = 4. Protilehlá odvěsna k úhlu beta je strana b, přepona je strana a. Vypočítáme podíl b/a, tedy 3/5, což je 0, 6. Sinus úhlu beta se tak rovná 0,6. Úhel beta má velikost , pokud tento úhel naskládáte do kalkulačky a vypočítáte sinus, získáte právě 0,6 (po drobnémzaokrouhlení). Výsledek si také můžete zkontrolovat na Googlu.
K čemu je to dobré
Je to dobré v případě, kdy znáte jeden úhel a délku jedné strany a potřebujete dopočítat zbývající strany.
